Geschwindigkeitist definiert als die Geschwindigkeit eines Objekts in einer bestimmten Richtung. In vielen gängigen Situationen verwenden wir zum Ermitteln der Geschwindigkeit die Gleichung v = s / t, wobei v der Geschwindigkeit entspricht, s der Gesamtverschiebung von der Startposition des Objekts entspricht und t der verstrichenen Zeit entspricht. Dies gibt jedoch technisch nur die Objekte durchschnittlich Geschwindigkeit über seinen Weg. Mit Hilfe von Kalkül ist es möglich, die Geschwindigkeit eines Objekts jederzeit auf seinem Weg zu berechnen. Das nennt man momentane Geschwindigkeit und es wird durch die Gleichung definiert v = (ds) / (dt) oder mit anderen Worten die Ableitung des ObjektsDurchschnittsgeschwindigkeitGleichung.
Schritte
Teil ein von 3: Berechnung der momentanen Geschwindigkeit
- ein Beginnen Sie mit einer Geschwindigkeitsgleichung in Bezug auf die Verschiebung. Um die momentane Geschwindigkeit eines Objekts zu erhalten, müssen wir zuerst eine Gleichung haben, die uns seine Position (in Bezug auf die Verschiebung) zu einem bestimmten Zeitpunkt angibt. Dies bedeutet, dass die Gleichung die Variable haben muss s auf einer Seite für sich und t auf der anderen Seite (aber nicht unbedingt von selbst) wie folgt:
s = -1,5 t2+ 10t + 4
Ellenbogenstütze zum Schlafen
- In dieser Gleichung sind die Variablen:
- Verschiebung = s . Die Entfernung, die das Objekt von seiner Startposition zurückgelegt hat. Wenn ein Objekt beispielsweise 10 Meter vorwärts und 7 Meter rückwärts fährt, beträgt seine Gesamtverschiebung 10 - 7 = 3 Meter (nicht 10 + 7 = 17 Meter).
- Zeit = t . Selbsterklärend. Normalerweise in Sekunden gemessen.
- In dieser Gleichung sind die Variablen:
- 2 Nehmen Sie die Ableitung der Gleichung. DasDerivateiner Gleichung ist nur eine andere Gleichung, die Ihnen die Steigung zu einem bestimmten Zeitpunkt angibt. Um die Ableitung Ihrer Verschiebungsformel zu finden, differenzieren Sie die Funktion mit dieser allgemeinen Regel zum Auffinden von Ableitungen: Wenn y = a * xn, Derivat = a * n * xn-1 Diese Regel wird auf jeden Term auf der 't'-Seite der Gleichung angewendet.
- Mit anderen Worten, gehen Sie zunächst die 't'-Seite Ihrer Gleichung von links nach rechts durch. Jedes Mal, wenn Sie ein 't' erreichen, subtrahieren Sie 1 vom Exponenten und multiplizieren Sie den gesamten Term mit dem ursprünglichen Exponenten. Alle konstanten Terme (Terme, die kein 't' enthalten) verschwinden, weil sie mit 0 multipliziert werden. Dieser Prozess ist nicht so schwierig, wie es sich anhört. Lassen Sie uns die Gleichung im obigen Schritt als Beispiel ableiten:
s = -1,5 t2+ 10t + 4
(2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10telf+ (0) 4p0
-3тein+ 10t0
-3t + 10
- Mit anderen Worten, gehen Sie zunächst die 't'-Seite Ihrer Gleichung von links nach rechts durch. Jedes Mal, wenn Sie ein 't' erreichen, subtrahieren Sie 1 vom Exponenten und multiplizieren Sie den gesamten Term mit dem ursprünglichen Exponenten. Alle konstanten Terme (Terme, die kein 't' enthalten) verschwinden, weil sie mit 0 multipliziert werden. Dieser Prozess ist nicht so schwierig, wie es sich anhört. Lassen Sie uns die Gleichung im obigen Schritt als Beispiel ableiten:
- 3 Ersetzen Sie 's' durch 'ds / dt. 'Um zu zeigen, dass unsere neue Gleichung eine Ableitung der ersten ist, ersetzen wir' s 'durch die Notation' ds / dt '. Technisch bedeutet diese Notation 'die Ableitung von s in Bezug auf t'. Eine einfachere Möglichkeit, sich das vorzustellen, besteht darin, dass ds / dt nur die Steigung eines bestimmten Punktes in der ersten Gleichung ist. Zum Beispiel, um die Steigung der Linie zu finden, die durch s = -1,5t gemacht wird2+ 10t + 4 bei t = 5 würden wir einfach '5' in t in seiner Ableitung stecken.
- In unserem laufenden Beispiel sollte unsere fertige Gleichung nun so aussehen:
ds / dt = -3t + 10
- In unserem laufenden Beispiel sollte unsere fertige Gleichung nun so aussehen:
- 4 Geben Sie einen t-Wert für Ihre neue Gleichung ein, um die momentane Geschwindigkeit zu ermitteln. Nachdem Sie nun Ihre Ableitungsgleichung haben, ist es einfach, die momentane Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt zu ermitteln. Sie müssen lediglich einen Wert für t auswählen und in Ihre Ableitungsgleichung einfügen. Wenn wir zum Beispiel die momentane Geschwindigkeit bei t = 5 finden wollen, würden wir t in der Ableitung ds / dt = -3 + 10 durch '5' ersetzen. Dann würden wir die Gleichung einfach wie folgt lösen:
ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 Meter / Sekunde- Beachten Sie, dass wir oben die Bezeichnung 'Meter / Sekunde' verwenden. Da es sich um eine Verschiebung in Metern und eine Zeit in Sekunden handelt und die Geschwindigkeit im Allgemeinen nur eine Verschiebung über die Zeit ist, ist dieses Etikett angemessen.
Teil 2 von 3: Momentane Geschwindigkeit grafisch schätzen
- ein Stellen Sie die Verschiebung Ihres Objekts über die Zeit grafisch dar. Im obigen Abschnitt haben wir erwähnt, dass Ableitungen nur Formeln sind, mit denen wir die Steigung an jedem Punkt für die Gleichung ermitteln können, für die Sie die Ableitung verwenden. Wenn Sie die Verschiebung eines Objekts mit einer Linie in einem Diagramm darstellen, Die Steigung der Linie an einem bestimmten Punkt entspricht der momentanen Geschwindigkeit des Objekts an diesem Punkt.
- Um die Verschiebung eines Objekts grafisch darzustellen, verwenden Sie die x-Achse, um die Zeit darzustellen, und die y-Achse, um die Verschiebung darzustellen. Dann einfachHandlungspunkteindem Sie Werte für t in Ihre Verschiebungsgleichung einfügen, s-Werte für Ihre Antworten abrufen und die t, s (x, y) -Punkte im Diagramm markieren.
- Beachten Sie, dass sich das Diagramm unterhalb der x-Achse erstrecken kann. Wenn die Linie, die die Bewegung Ihres Objekts darstellt, unter die x-Achse fällt, stellt dies Ihr Objekt dar, das sich hinter die Stelle bewegt, an der es begonnen hat. Im Allgemeinen erstreckt sich Ihr Diagramm nicht hinter der y-Achse - wir messen nicht oft die Geschwindigkeit für Objekte, die sich zeitlich rückwärts bewegen!
- 2 Wählen Sie einen Punkt P und einen Punkt Q in der Nähe auf der Linie. Um die Steigung einer Linie an einem einzelnen Punkt P zu finden, verwenden wir einen Trick namens 'Limit nehmen'. Um eine Grenze zu setzen, müssen zwei Punkte (P plus Q, ein Punkt in der Nähe) auf der gekrümmten Linie genommen und die Steigung der Linie, die sie verbindet, immer wieder ermittelt werden, wenn der Abstand zwischen P und Q kleiner wird.
- Nehmen wir an, unsere Verschiebungslinie enthält die Punkte (1,3) und (4,7). In diesem Fall können wir setzen, wenn wir die Steigung bei (1,3) finden wollen (1,3) = P. und (4.7) = Q. .
- 3 Finden Sie die Steigung zwischen P und Q. Die Steigung zwischen P und Q ist die Differenz der y-Werte für P und Q gegenüber der Differenz der x-Werte für P und Q. Mit anderen Worten, H = (undQ.- Y.P.) / (xQ.- xP.) , wobei H die Steigung zwischen den beiden Punkten ist. In unserem Beispiel ist die Steigung zwischen P und Q:
H = (undQ.- Y.P.) / (xQ.- xP.)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1,33
- 4 Wiederholen Sie dies mehrmals und bewegen Sie Q näher an P. Ihr Ziel hier ist es, den Abstand zwischen P und Q immer kleiner zu machen, bis er sich einem einzelnen Punkt nähert. Je kleiner der Abstand zwischen P und Q wird, desto näher ist die Steigung Ihrer winzigen Liniensegmente an der Steigung am Punkt P. Lassen Sie uns dies für unsere Beispielgleichung einige Male unter Verwendung der Punkte (2,4.8), (1.5) tun , 3,95) und (1,25,3,49) für Q und unser ursprünglicher Punkt von (1,3) für P:
Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95): H = (3,95-3) / (1,5-1)
H = (.95) / (.5) = 1.9
Q = (1,25,3,49): H = (3,49-3) / (1,25-1)
H = (.49) / (.25) = 1,96 - 5 Schätzen Sie die Steigung für ein unendlich kleines Intervall auf der Linie. Wenn Q näher und näher an P kommt, kommt H der Steigung am Punkt P immer näher. Schließlich entspricht H in einem unendlich kleinen Intervall der Steigung an P. Weil wir nicht in der Lage sind, eine unendlich zu messen oder zu berechnen In einem kleinen Intervall schätzen wir die Steigung bei P, sobald sie aus den von uns versuchten Punkten hervorgeht.
- Wenn wir in unserem Beispiel Q näher an P heranrücken, erhalten wir Werte von 1,8, 1,9 und 1,96 für H. Da sich diese Zahlen 2 nähern, können wir das sagen 2 ist eine gute Schätzung für die Steigung bei P.
- Denken Sie daran, dass die Steigung an einem bestimmten Punkt auf einer Linie gleich der Ableitung der Liniengleichung an diesem Punkt ist. Da unsere Linie die zeitliche Verschiebung unseres Objekts anzeigt und, wie wir im obigen Abschnitt gesehen haben, die momentane Geschwindigkeit eines Objekts die Ableitung seiner Verschiebung an einem bestimmten Punkt ist, können wir das auch sagen 2 Meter / Sekunde ist eine gute Schätzung für die momentane Geschwindigkeit bei t = 1.
Teil 3 von 3: Beispielprobleme
- ein Bestimmen Sie die momentane Geschwindigkeit bei t = 4 unter Berücksichtigung der Verschiebungsgleichung s = 5t3- 3t2+ 2t + 9. Dies ist genau wie in unserem Beispiel im ersten Abschnitt, außer dass es sich eher um eine kubische als um eine quadratische Gleichung handelt, sodass wir sie auf die gleiche Weise lösen können.
- Zuerst nehmen wir die Ableitung unserer Gleichung:
s = 5t3- 3t2+ 2t + 9
s = (3) 5t(3 - 1)- (2) 3p(einundzwanzig)+ (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2)- 6t(ein)+ 2t(0)
15t(2)- 6t + 2 - Dann geben wir unseren Wert für t (4) ein:
s = 15 t(2)- 6t + 2
15 (4)(2)- 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240 - 24 + 2 = 218 Meter / Sekunde
wie man Tennis schneidet
- Zuerst nehmen wir die Ableitung unserer Gleichung:
- 2 Verwenden Sie eine grafische Schätzung, um die momentane Geschwindigkeit bei (1,3) für die Verschiebungsgleichung s = 4t zu ermitteln2- t. Für dieses Problem verwenden wir (1,3) als P-Punkt, müssen jedoch einige andere Punkte in der Nähe finden, um sie als Q-Punkte zu verwenden. Dann geht es nur noch darum, unsere H-Werte zu finden und eine Schätzung vorzunehmen.
- Lassen Sie uns zuerst Q-Punkte bei t = 2, 1,5, 1,1 und 1,01 finden.
s = 4t2- t
t = 2: s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, also Q = (2,14)
t = 1,5: s = 4 (1,5)2- (1,5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, also Q = (1,5,7,5)
t = 1,1: s = 4 (1,1)2- (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, also Q = (1,1,3,74)
t = 1,01: s = 4 (1,01)2- (1,01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, also Q = (1,01,3,0704) - Als nächstes erhalten wir unsere H-Werte:
Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) = elf
Q = (1,5,7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
H = (4,5) / (. 5) = 9
Q = (1,1,3,74): H = (3,74-3) / (1,1-1)
H = (.74) / (. 1) = 7.3
Q = (1,01,3,0704): H = (3,0704-3) / (1,01-1)
H = (.0704) / (. 01) = 7.04 - Da unsere H-Werte sehr nahe an 7 zu kommen scheinen, können wir das sagen 7 Meter / Sekunde ist eine gute Schätzung für die momentane Geschwindigkeit bei (1,3).
- Lassen Sie uns zuerst Q-Punkte bei t = 2, 1,5, 1,1 und 1,01 finden.
Community Q & A.
Suche Neue Frage hinzufügen- Frage Was ist der Unterschied zwischen momentaner und durchschnittlicher Geschwindigkeit? Momentan ist in diesem Moment, während Durchschnitt der Mittelwert der gesamten Zeitspanne ist.
- Frage Wie berechne ich die momentane Beschleunigung? Die momentane Beschleunigung kann als Wert der Ableitung der momentanen Geschwindigkeit betrachtet werden. Zum Beispiel: s = 5 (t ^ 3) - 3 (t ^ 2) + 2t + 9 v = 15 (t ^ 2) - 6t + 2 a = 30t - 6 Wenn wir die momentane Beschleunigung bei t = wissen wollen 4, dann ist a (4) = 30 · 4 - 6 = 114 m / (s ^ 2)
- Frage Wann sind Momentangeschwindigkeit und Durchschnittsgeschwindigkeit gleich? Die momentane Geschwindigkeit gibt die Geschwindigkeit eines Objekts zu einem bestimmten Zeitpunkt an. Wenn sich das Objekt mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt, sind die Durchschnittsgeschwindigkeit und die momentane Geschwindigkeit gleich. In allen Situationen sind sie wahrscheinlich nicht gleich.
- Wie kann ich die Geschwindigkeit Null zwischen zwei Malen finden? Antworten
- Wie kann ich die Geschwindigkeit Null zwischen zwei Malen finden? Antworten
- Wie berechne ich 5t + 12t ^ 2? Antworten
Werbung
Video . Durch die Nutzung dieses Dienstes können einige Informationen mit YouTube geteilt werden.
Tipps
- Um die Beschleunigung (die Änderung der Geschwindigkeit über die Zeit) zu ermitteln, verwenden Sie die Methode in Teil 1, um eine Ableitungsgleichung für Ihre Verschiebungsfunktion zu erhalten. Nehmen Sie dann eine andere Ableitung, diesmal Ihrer Ableitungsgleichung. Auf diese Weise erhalten Sie eine Gleichung zum Ermitteln der Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt. Sie müssen lediglich Ihren Wert für die Zeit eingeben.
- Die Gleichung, die Y (Verschiebung) mit X (Zeit) in Beziehung setzt, könnte sehr einfach sein, wie zum Beispiel Y = 6x + 3. In diesem Fall ist die Steigung konstant und es ist nicht erforderlich, eine Ableitung zu finden, um die Steigung zu finden. das heißt, nach dem Grundmodell Y = mx + b für lineare Graphen, 6.
- Die Verschiebung ist wie die Entfernung, hat jedoch eine festgelegte Richtung. Dadurch wird die Verschiebung zu einem Vektor und die Geschwindigkeit zu einem Skalar. Die Verschiebung kann negativ sein, während der Abstand nur positiv ist.
Anzeige Tipp einreichen Alle Tipps werden vor der Veröffentlichung sorgfältig geprüft. Vielen Dank, dass Sie einen Tipp zur Überprüfung eingereicht haben!
